Дистрибутивность решётки

В произвольной решетке $(A, \vee, \wedge)$ выполнены неравенства: $$(a \wedge b) \vee (a \wedge c) \leq a \wedge (b \vee c)$$ и $$a \vee (b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge (a \vee c)$$

Докажем первое неравенство: $(a \wedge b) \vee (a \wedge c) \leq a \wedge (b \vee c)$. Это неравенство выполняется, потому что: $$ (a \wedge b) \wedge (a \wedge (b \vee c)) = ((a \wedge b) \wedge a) \wedge (b \vee c) = a \wedge (b \wedge (b \vee c)) = a \wedge b $$ аналогично $$ (a \wedge c) \wedge (a \wedge (b \vee c)) = a \wedge c $$ Из этих результатов следует: $$(a \wedge b) \vee (a \wedge (b \vee c)) = (a \wedge c) \vee (a \wedge (b \vee c)) = a \wedge (b \vee c)$$ $$((a \wedge b) \vee (a \wedge c)) \vee (a \wedge (b \vee c)) = a \wedge (b \vee c)$$ Отсюда получаем: $$(a \wedge b) \vee (a \wedge c) \leq a \wedge (b \vee c)$$ Второе неравенство $a \vee (b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge (a \vee c)$ доказывается аналогично (двойственно). $\square$

Если для данной решетки $(A, \vee, \wedge)$ неравенства в теореме можно заменить равенствами, то решетка называется **дистрибутивной**.